正弦和余弦加法公式的推导

正弦和余弦的加法公式是三角学中最核心的恒等式之一，其标准形式为：

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$

以下是几种经典的推导方法：

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方法一：几何法（单位圆与旋转）

核心思想：通过单位圆中角度的几何关系推导。

1. 构造图形：

   • 在单位圆上，设点 ( P ) 对应角度 ( $\alpha$ )，点 ( Q ) 对应角度 ( $\alpha +\beta$ )。
   • 点 ( P ) 的坐标为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ ，点 ( Q ) 的坐标为 $(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))$。

2. 旋转角度 $ \beta $：

   • 将向量 ( OP ) 旋转角度 $(\beta )$ 得到向量 ( OQ )。

   • 旋转后的坐标变换公式为：

     $$\{\begin{array}{l}\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,\\ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .\end{array}$$

   • 这直接给出了余弦和正弦的加法公式。

几何直观：旋转矩阵的乘法对应角度相加的三角函数值。

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方法二：欧拉公式（复数法）

核心思想：利用复指数函数的性质。

1. 欧拉公式：$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
2. 指数相加：$$e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }\cdot e^{i\beta }$$展开后：$$\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )$$
3. 展开乘法：$$=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta +i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )$$
4. 实部与虚部分离：
   • 实部对应余弦公式：$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$。
   • 虚部对应正弦公式：$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$。

优势：简洁且无需几何构造，适用于复数领域。